Turunan adalah suatu objek yang berdasarkan atau dibuat dari suatu sumber dasar. Arti ini penting dalam linguistik dan etimologi, dimana bentuk turunan dari suatu kata terbentuk dari beberapa kata dasar. Dalam kimia, turunan adalah senyawa yang terbentuk dari beberapa senyawa. Dalam finansial, turunan adalah kependekan dari jaminan turunan.proses dari menirunkan disebut diferensiasi

Dalam matematika, turunan dari suatu fungsi adalah satu dari dua konsep utama dalam kalkulus. Invers dari turunan disebut antiturunan atau integral tak tentu.

•   adalah simbol untuk turunan pertama.
•  adalah simbol untuk turunan kedua.
•    adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain  dan  adalah  dan 

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan atau diferensiasi.

Secara matematis, turunan fungsi ƒ (x) terhadap variabel x adalah ƒ 'yang nilainya di titik x adalah:

 

dengan Persyaratan limit tersebut eksis. Jika ƒ 'eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ' eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Bila z = x + h , h = z - x , dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x , maka definisi turunan pada dapat pula kita tulis sebagai:

Perhatikan bahwa ekspresi  pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi  pada titik (3,9):

 

RUMUS – RUMUS TURUNAN

1.   f(x) = k                                      maka     f′(x) = 0

2.   f(x) = ax                                    maka    f′(x) = a

3.   f(x) = ax ⁿ                                  maka     f′(x) = an x ^n-1

4.   f(x) = u(x) ± v(x)                      maka     f′(x) = u′(x) ± v′(x)

5.   f(x) = (u(x))ⁿ                             maka     f′(x) = n ( u(x) )^n-1 . u′(x)

6.   f(x) = u(x) . v(x)                       maka    f′(x) = u′(x).v(x) + u(x).v′(x)

7.   f(x) = sin u                                maka     f ′(x) = cos u . u′

8.   f(x) = cos u                               maka    f′(x) = - sin u . u′

9. f(x) = tan u                                maka    f′(x) = sec ² u . u′

10. f(x) = cotan u                            maka    f′(x) = - cosec ² u . u′

11. f(x) = sec u                               maka    f′(x) = sec u . tan u . u′

12. f(x) = cosec u                            maka    f′(x) = - cosec u . cotan u . u′

Persamaan Garis Singgung Kurva Suatu titik    P(x1,y1)    terletak pada  kurva    y = f(x) ,     maka persamaan garis singgung yang melalui titik itu adalah          y – y1 = m (x – x1) dengan   m = f′(x1). Dua garis sejajar jika m1 = m2  dan saling tegak lurus jika m1.m2 = -1. Fungsi naik dan fungsi turun Fungsi f(x) naik jika f′(x) > 0 Fungsi f(x) turun jika f′(x) < 0 Fungsi f(x) stasioner jika f′(x) = 0 Titik stasioner dan jenis stasioner Jika  f′(a) = 0  maka  x=a disebut pembuat stasioner,  f(a) disebut nilai stasioner dan (a , f(a)) disebut titik stasioner. (a , f(a)) disebut titik balik maksimum jika f′(a-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) < 0  atau  jika f′(a) = 0  dan f′′(a) < 0. (a , f(a)) disebut titik balik minimum jika   f′(a-) < 0 ,   f′(a) = 0 ,   f′(a+) > 0 atau jika f′(a) = 0  dan  f′′(a) > 0. (a , f(a))  disebut titik belok   jika   f′(a-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) > 0    atau    f′(a-) < 0 , f′(a) = 0 ,    f′(a+) < 0   atau  jika    f′(a) = 0  dan    f′′(a) = 0.

MATERI MATEMATIKA

Tentang : LIMIT

Disusun oleh : Sulistira E.Gunantarawati

Kelas : XI IPS 1

DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA

SMA NEGERI 1 PURWAKARTA

JL.Kornel Singawinata No.113 Telp. (0264) 200025 Purwakarta 41111- Jawa Barat

Fax. (0264) 231727 , E-mail : sman1-pwk@plasa.com

Kata pengantar

Puji syukur saya ucapkan atas kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat dan karunia-Nya saya masih diberi kesempatan untuk menyelesaikan makalah ini. Tidak lupa saya ucapkan kepada guru matematika saya  dan juga teman-teman yang telah memberikan dukungan dalam menyelesaikan makalah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih banyak kekurangan, oleh sebab itu penulis angat mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Dan semoga sengan selesainya makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan teman – teman .

Salam

tira

LIMIT

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.

Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:

berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit dari f(x), bila x mendekati c, adalah L". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c)  L. Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titik c. Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.

Sebagai contoh,  pada saat x mendekati 2. Dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:

f(1.9)    f(1.99)  f(1.999)            f(2)      f(2.001)           f(2.01) f(2.1)

0.4121  0.4012 0.4001 0.4      0.3998 0.3988 0.3882

Semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu . Dalam kasus dimana , f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku. Sebagai contoh,

Limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)), namun ; g tidak kontinyu pada titik x = 2.

Atau, bisa diambil contoh dimana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c.

Dalam contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya samadengan 2, karena makin x mendekati 1, f(x) makin mendekati 2:

f(0.9)   f(0.99) f(0.999)           f(1.0)   f(1.001)            f(1.01)  f(1.1)

1.95      1.99      1.999    undef             2.001   2.010   2.10

Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit dari  adalah 2.

[sunting]Definisi formal

Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila  adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik  (dengan kemungkinan pengecualian pada titik ) dan  adalah bilangan real, maka

berarti bahwa untuk setiap  terdapat  yang untuk semua  dimana , berlaku .

[sunting]Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga

Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).

Sebagai contoh, lihat .

f(100) = 1.9802

f(1000) = 1.9980

f(10000) = 1.9998

Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa

[sunting]Limit barisan

Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.

Secara formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai

yang artinya

Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli n0 sehingga untuk semua n > n0, |xn − L| < ε.

Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |xn − L| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila tidak, disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.

Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).