MATERI MATEMATIKA
Tentang : LIMIT
Disusun oleh : Sulistira E.Gunantarawati
Kelas : XI IPS 1
DINAS
PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA
SMA
NEGERI 1 PURWAKARTA
JL.Kornel
Singawinata No.113 Telp. (0264) 200025 Purwakarta 41111- Jawa Barat
Kata
pengantar
Puji syukur saya ucapkan atas kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat dan karunia-Nya saya masih diberi kesempatan untuk menyelesaikan makalah ini. Tidak lupa saya ucapkan kepada guru matematika saya dan juga teman-teman yang telah memberikan dukungan dalam menyelesaikan makalah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih banyak kekurangan, oleh sebab itu penulis angat mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Dan semoga sengan selesainya makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan teman – teman .
Salam
tira
LIMIT
Dalam
matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi,
saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu
barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan
cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan
kekontinyuan.
Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:
berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin
dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit
dari f(x), bila x mendekati c, adalah L". Perlu diingat bahwa kalimat
sebelumnya berlaku, meskipun f(c) L.
Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titik c. Kedua contoh
dibawah ini menggambarkan sifat ini.
Sebagai contoh, pada saat x
mendekati 2. Dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2
dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001
0.4 0.3998 0.3988 0.3882
Semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu .
Dalam kasus dimana , f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak
selalu berlaku. Sebagai contoh,
Limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)),
namun ; g tidak kontinyu pada titik x = 2.
Atau, bisa diambil contoh dimana f(x) tidak terdefinisikan pada
titik x = c.
Dalam contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak
terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya samadengan 2, karena makin x
mendekati 1, f(x) makin mendekati 2:
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999
undef 2.001 2.010 2.10
Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis
sama dengan 1, jadi limit dari adalah 2.
[sunting]Definisi formal
Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut:
Bila adalah fungsi yang terdefinisikan
pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik (dengan kemungkinan pengecualian pada titik )
dan adalah bilangan real, maka
berarti bahwa untuk setiap terdapat
yang untuk semua dimana , berlaku
.
[sunting]Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga
Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka
adalah konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif.
Ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak
terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi sangat
besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).
Sebagai contoh, lihat .
f(100) = 1.9802
f(1000) = 1.9980
f(10000) = 1.9998
Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini,
dapat dikatakan bahwa
[sunting]Limit barisan
Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat
mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari
barisan tersebut.
Secara formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil.
Kita menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya
sebagai
yang artinya
Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli
n0 sehingga untuk semua n > n0, |xn − L| < ε.
Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen
barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit,
karena nilai absolut |xn − L| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua barisan
memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila tidak,
disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu
limit.
Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi,
limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang
didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x,
bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar